【Highlights of Calculus】Part2

线性近似

概述

1. 线性近似是利用函数在某一点处的导数来近似该函数在该点附近的值
2. 它基于函数在该点处的切线方程，因此称为线性近似

公式

$$
\begin{split}
& f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) \\
& 含义： \\
& 在点x=a附近，函数f(x)可以近似为f(a)加上一个线性项f'(a)(x-a)，其中，f'(a)是函数在a处的导数
\end{split}
$$

示例

$$
\begin{split}
& 假设有函数f(x)=\sqrt{x}，并且我们想要在x=4附近对它进行线性相似。 \\
& 计算f(4)和f'(4) \\
& 如下：\\
& f(4) = \sqrt{4}=2 \\
& f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} ，\quad 所以 f'(4) = \frac{1}{4} \\
& 使用线性近似公式：\\
& f(x) \approx f(4)+f'(4)(x-4)=2+\frac{1}{4}(x-4) \\
& 因此，\sqrt{x}在x=4附近的线性近似为2+\frac{1}{4}(x-4)
\end{split}
$$

牛顿法

概述

1. 也称为牛顿-拉夫森法，是一种用于求解非线性方程 f(x)=0f(x) = 0f(x)=0 的数值方法
2. 它使用函数的导数来迭代逼近方程的根

公式

$$
\begin{split}
& 牛顿法的迭代公式为：\\
& x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \\
& 其中，x_n是第n次迭代的近似值，x_{n+1}是第n+1次迭代的近似值
\end{split}
$$

步骤

$$
\begin{split}
& 1. 选择一个初始猜测值x_0 \\
& 2. 使用迭代公式计算x_{n+1} \\
& 3. 重复步骤2，知道|x_{n+1}-x_n|小于一个预设的容差（表示结果收敛）
\end{split}
$$

示例

$$
\begin{split}
& 假设要找到方程x^2-2=0的一个根。\\
& 定义函数和导数：\\
& f(x)=x^2-2 \\
& f'(x)=2x \\
& 选择初始值猜测 x_0=1，然后用上面的迭代公式迭代 \\
& x_1 = 1 - \frac{1^2-2}{2 \cdot 1}=1.5 \\
& x_2 = 1.5 - \frac{1.5^2-2}{2 \cdot 1.5} \approx 1.4167 \\
& x_3 = 1.4167 - \frac{1.4167^2-2}{2 \cdot 1.4167} \approx 1.4143 \\
& 继续迭代直到结果收敛 \\
& 可以看到x_3已经很接近\sqrt{2}\approx1.4142
\end{split}
$$

幂级数

概述

1. 用于表示函数在某个点附近的展开

定义

$$
\begin{split}
& 形如以下形式：\\
& \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n \\
& 其中，a_n是常数项，称为级数的系数 \\
& x是变量 \\
& c是幂级数的中心（或展开点）
\end{split}
$$

收敛性

$$
\begin{split}
& 幂级数在某个区间内收敛，该区间的范围由收敛半径R决定。 \\
& 具体来说，对于幂级数\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n，\\
& 存在一个非负数R，使得当|x-c|<R时，级数收敛，\\
& 当|x-c|>R时，级数发散。 \\
& 收敛半径R计算公式如下：\\
& R=\frac{1}{\lim sup_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \\
& 或使用根值判别法：\\
& R=\lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{a_n}{n_{n+1}}|
\end{split}
$$

性质

1. 加法

$$
\begin{split}
& \left( \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n \right)+\left( \sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-c)^n \right)=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n \pm b_n)(x-c)^n
\end{split}
$$

2. 乘法

$$
\begin{split}
& \left( \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n \right)\left( \sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-c)^n \right)= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{n}(a_{k}b_{n-k})\right) (x-c)^n
\end{split}
$$

3. 导数和积分

$$
\begin{split}
& \frac{d}{dx}\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-c)^{n-1} \\
& \int \left( \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n \right)\, dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n(x-c)^{n+1}}{n+1} + C
\end{split}
$$

常见示例

1. 几何级数

$$
\begin{split}
& \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}，对于|x|<1
\end{split}
$$

2. 指数级数

$$
\begin{split}
& e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\end{split}
$$

3. 正余弦函数

$$
\begin{split}
& sinx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
& cosx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\end{split}
$$

欧拉公式

概述

1. 欧拉公式是复分析中一个非常重要的公式，由数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）提出
2. 它描述了复指数函数与三角函数之间的关系

$$
\begin{split}
& e^{ix} = cosx + i sinx \\
& 其中：\\
& e是自然对数的底数\\
& i是虚数单位，满足i^2=-1.x是实数变量。\\
& \\
& 当x = \pi时，得到欧拉恒等式：\\
& e^{i\pi} + 1 = 0
\end{split}
$$

推导

$$
\begin{split}
& 首先，看一下e^{ix}的泰勒级数展开：\\
& e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!} \\
& 将这个级数拆分成实部和虚部：\\
& e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^nx^n}{n!} \\
& 由于i的幂次会循环，具体来说：\\
& i^0 = 1, \\
& i^1 = i, \\
& i^2 = -1, \\
& i^3 = -i, \\
& i^4 = 1, ... \\
& 因此，级数可以重新排列为：\\
& e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^nx^n}{n!} \\
& \ \quad = \left( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k}}{(2k)!} \right) + \left( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) \\
& \ \quad = \left( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} \right) + i\left( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) \\
& \ \quad =cosx + isinx
\end{split}
$$

欧拉恒等式

$$
\begin{split}
& 上述欧拉公式中，当x = \pi时，得到欧拉恒等式：\\
& e^{i\pi} + 1 = 0
\end{split}
$$

欧拉公式应用

1. 复数表示
2. 傅里叶变换
3. 微分方程
4. 电路分析
5. 等