【Highlights of Calculus】Part1

导数测试

局部极值

1. 函数在某点的值比其在该点附近的值都要大或小
2. 局部极值包括局部最大值和局部最小值

全局极值

1. 函数在整个定义域上的最大值和最小值

确定极值点

1. 找到候选极值点

$$
\begin{split}
& 找到一阶导数f'(x)为0或不存在的点，这些点成为临界点 \\
& 在临界点，函数的变化率为零或函数的变化率不存在 \\
& f'(x) = 0 \quad f'(x)不存在
\end{split}
$$

2. 确定局部极值的性质

$$
\begin{split}
& 计算二阶导数f''(x) \\
& 如果f''(x) > 0, x是局部极小值点 \\
& 如果f''(x) < 0, x是局部极大值点 \\
& 如果f''(x) = 0, 二阶导数测试不能确定，需要进一步分析
\end{split}
$$

关于确定全局极值

1. 局部极值不一定是全局极值
2. 为了找到函数的全局极值，需要考虑
   1. 检查所有临界点：通过导数测试找出的局部极值点
   2. 检查定义域的边界：函数在定义域的边界值可能是全局极值

二项式定理

概述

1. 二项式定理给出了二项式展开的每一项的系数和形式
2. 表述如下：

$$
\begin{split}
& (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k \\
& 其中，\binom{n}{k}是二项式系数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数
\end{split}
$$

二项式系数

$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

二项式系数性质

1. 对称性

$$
\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
$$

2. 递推关系
   1. 帕斯卡尔恒等式

$$
\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
$$

3. 边界条件

$$
\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1
$$

指数级数

1. 因为有分数，指数级数不会变得无穷大

$$
e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... + \frac{x^n}{n!} + ...
$$

e

概述

1. 用欧拉的名字命名的
2. 数学中一个非常重要的常数，约等于 2.71828
3. 它是自然对数的底数，并且在许多数学和科学领域中有深刻的意义

指数函数

$$
\begin{split}
& 指数函数e^x定义为自然对数的底数e的x次幂 \\
& \frac{d}{dx}e^x = e^x \\
& \int e^x \, dx = e^x + C \\
& e^{x+y} = e^x \cdot e^y
\end{split}
$$

级数展开（定义）

1. e通过指数级数的展开式定义

$$
\begin{split}
& e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \\
& 当x = 1时，\quad e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}
\end{split}
$$

自然对数

$$
\begin{split}
& 自然对数是以e为底的对数，记作ln x \\
& ln e = 1 \\
& ln 1 = 0 \\
& ln (xy) = lnx + lny
\end{split}
$$

极限（定义）

1. e通过以下极限来定义

$$
e = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n
$$

微积分

1. 导数

$$
(e^x)'=e^x
$$

2. 微分方程
   1. 许多微分方程的解可以用e表示

$$
\begin{split}
& 例如：\\
& y' = ky的解是: \\
& y = Ce^{kx}
\end{split}
$$

欧拉公式

1. 在复数领域，欧拉公式将e、复数、三角函数联系起来

$$
\begin{split}
& e^{ix} = cosx + isinx \\
& 当x = \pi时，得到欧拉恒等式：\\
& e^{i\pi} + 1 = 0
\end{split}
$$

几何级数

1. 只有当x < 1时，几何级数不会增长到无穷

$$
1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n + ...
$$

收敛

概念

极限和导数的定义

1. 极限和导数是微积分中的两个基本概念，它们之间有密切的关系
2. 导数实际上是通过极限定义的
3. 极限是描述一个函数在某一点附近行为的概念
   1. 我们可以用极限来研究函数在趋近某一点时的值
4. 导数是函数变化率的度量
   1. 导数通过极限来定义，描述了函数在某一点的瞬时变化率

极限和导数的关系

1. 导数可以通过极限来定义

$$
\begin{split}
& 导数f'(a)是函数f(x)在x=a处的变化率，它是一个极限
& f'(a) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{split}
$$

工具方法

1. 洛必达法则
2. 泰勒级数展开
3. 分部积分
4. 函数的渐进行为
5. 三角不等式
   1. 三角不等式可以用于处理某些类型的极限，特别是在涉及绝对值的情况下
6. 极限定义法

$$
通过\epsilon - \delta证明计算极限
$$

4. 极限的比较法

$$
\begin{split}
& 例如\lim\limits_{x \rightarrow 0} xsin\frac{1}{x}: \\
& 解：\\
& 已知sin\frac{1}{x}的值在[-1,1]之间，因此：\\
& -x \leq xsin\frac{1}{x} \leq x \\
& 由于\lim\limits_{x \rightarrow 0}-x = 0 和 \lim\limits_{x \rightarrow 0}x = 0，\\
& 根据夹逼定理，原式=0
\end{split}
$$

5. 无穷小替代法
6. 夹逼定理
7. 连续性和连续函数的性质
8. 代换法

序列的收敛

$$
\begin{split}
& 一个序列{a_n}称为收敛的，如果存在一个实数L，使得当n趋于无穷大时，序列{a_n}趋近于L \\
& 形式定义如下： \\
& \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n = L \\
& 也就是说，对于任意的正数 \epsilon > 0, 存在一个正整数N，使得当n>N时，有|a_n - L | < \epsilon
\end{split}
$$

函数的收敛

$$
\begin{split}
& 一个函数f(x)在x趋近于某个点c时收敛于L \\
& 如果对于任意的正数 \epsilon > 0，存在一个正数\delta > 0，使得|x - c| < \delta时，有 |f(x) - L| < \epsilon \\
& 形式定义如下： \\
& \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) = L
\end{split}
$$

级数的收敛

$$
\begin{split}
& 一个级数\sum_{n = 1}^{\infty}a_n称为收敛的，如果其部分和序列S_N = \sum_{n=1}^{N}a_n收敛，即： \\
& \lim\limits_{N \rightarrow \infty} S_N = S \\
& 其中，S是一个有限实数
\end{split}
$$

绝对收敛

$$
\begin{split}
& 一个级数\sum_{n = 1}^{\infty}a_n如果\sum_{n = 1}^{\infty}|a_n|收敛， \\
& 则称\sum_{n = 1}^{\infty}a_n绝对收敛
\end{split}
$$

条件收敛

$$
\begin{split}
& 一个级数\sum_{n = 1}^{\infty}a_n如果收敛，但\sum_{n = 1}^{\infty}|a_n|发散， \\
& 则称\sum_{n = 1}^{\infty}a_n条件收敛
\end{split}
$$

一致收敛

点态收敛

发散

概念

1. 一个序列或函数如果不收敛，就称为发散
2. 发散可以意味着几种不同的情况
   1. 序列或函数趋于无穷大或负无穷大
   2. 序列或函数没有极限，即不趋近于任何有限的数

形式

1. 振荡发散
   1. 序列在两个或多个值之间振荡，不趋近于任何值
2. 无穷发散
   1. 序列趋向于无穷大或负无穷大

洛必达法则

概述

1. 是一个用于求解未定形式极限的重要工具
2. 如果我们有一个未定形式的极限，那么我们可以通过求导数来简化这个极限

$$
\begin{split}
& 洛必达法则是处理 \frac{0}{0} 和 \frac{\infty}{\infty}这两种未定形式的一种有效方法 \\
& 至于其他未定形式，通常需要将其转换成这两种形式后，再处理 \\
&
\end{split}
$$

3. 其基本思想是，通过求分子和分母的导数，再重新计算其极限，从而解决未定形式的问题

定义

$$
\begin{split}
& 如果函数f(x)和g(x)在某个区间内可导，且在x = c处, \\
& 有\lim\limits_{x \rightarrow c}f(x)=0和\lim\limits_{x \rightarrow c}g(x) = 0 \\
& 或：\\
& \lim\limits_{x \rightarrow c}f(x)=\infty和\lim\limits_{x \rightarrow c}g(x) = \infty，\\
& 则：\\
& \lim\limits_{x \rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \\
& 只要右侧的极限存在或趋于无穷大
\end{split}
$$

未定形式的极限

1. 在数学分析中，未定形式的极限指的是某些特定形式的极限计算，在这种形式下，直接代入极限值并不能确定其最终结果
2. 这些未定形式需要进一步的分析和处理，通常通过洛必达法则等方法来解决

常见未定形式

$$
\begin{split}
& \frac{0}{0} \\
& \frac{\infty}{\infty} \\
& 0 \cdot \infty \\
& \infty - \infty \\
& 0^0 \\
& {\infty}^0 \\
& 1^{\infty}
\end{split}
$$

一阶线性微分方程

一般形式

$$
\begin{split}
& y' + p(x)y = q(x) \\
& 其中，p(x),q(x)是关于x的已知函数
\end{split}
$$

解法

1. 找到积分因子
2. 用积分因子乘以整个方程
3. 求解

积分因子

$$
\begin{split}
& 积分因子\mu(x)是一个函数，可以用它将方程的左边变成一个导数的形式 \\
& 积分因子通常是：\\
& \mu(x) = e^{\int p(x) \,dx}
\end{split}
$$

积分因子推导

$$
\begin{split}
& 用一阶线性微分方程来推导：y' + p(x)y = q(x) \\
& 引入一个积分因子\mu(x)，它的作用是让原方程易于求解 \\
& 方程两边乘以\mu(x)，得：\\
& \mu(x)y' + \mu(x)p(x)y = \mu(x)q(x) \\
& 假如左边可以写成某个导数的形式：\\
& \frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)y'+\mu(x)p(x)y \\
& 而\frac{d}{dx}[\mu(x)y]展开是 \mu'(x)y+\mu(x)y' \\
& 要让这两个相等，就需要：\\
& \mu'(x)y+\mu(x)y' = \mu(x)y'+\mu(x)p(x)y \\
& 化简：\\
& \mu'(x)y = \mu(x)p(x)y \\
& 由于y可以为任意值，可以消去y，得到：\\
& \mu'(x)=\mu(x)p(x) \\
& 于是有：\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=p(x) \\
& 对两边积分：\\
& \int \frac{\mu'(x)}{\mu(x)} \,dx=\int p(x)\,dx \\
& 左边积分是自然对数: \\
& ln|\mu(x)|=\int p(x)\, dx + C \\
& 由于积分常数C可以吸收到积分因子中，则可以写成：\\
& \mu(x) = e^{\int p(x) \,dx}
\end{split}
$$

$$
\begin{split}
& ------------------------------- \\
& 上述推导内容部分解析：\\
& \int \frac{\mu'(x)}{\mu(x)} \,dx 怎么算到ln|\mu(x)|: \\
& 设u = \mu(x), 那么du=\mu'(x)dx \\
& 带入换元：\\
& \int \frac{du}{u} \\
& 根据公式：\int \frac{dx}{x} = ln|x| + C \\
& 得：\int \frac{du}{u}=ln|u|+C=ln|\mu(x)|+C
& \\
& -------------------------------
\end{split}
$$

示例

$$
\begin{split}
& y' = ky \\
& 这个一阶线性微分方程，p(x)=-k,q(x)=0 \\
& 那么积分因子是：\mu(x) = e^{\int-k\,dx}=e^{-kx} \\
& 方程两边同时乘以积分因子，得： \\
& e^{-kx}y'-ke^{-kx}y=0 \\
& 这变成了一个导数的形式： \\
& \frac{d}{dx}(e^{-kx}y) = 0 \\
& 对两边积分： \\
& e^{-kx}y = C \\
& 于是：y = Ce^{kx}
\end{split}
$$