【微积分】简记

微分

微分的过程

1. 用来研究函数的变化率
2. 简而言之，微分是寻找函数的导数

概念

$$
\begin{split}
& \frac{dy}{dx}表示函数f(x)关于自变量x的导数 \\
& 具体来说，\frac{dy}{dx}表示y随x变化的瞬时变化率
\end{split}
$$

导数

1. 是微积分中的一个概念
2. 导数描述了函数在某一点的瞬时变化率

$$
\begin{split}
& 给定一个函数f(x)，其导数f'(x)表示函数在x处的变化率 \\
& 定义如下： \\
& f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\
& \\
& \Delta x是一个很小的增量 \\
& \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)是对应的y的增量 \\
& 导数\frac{dy}{dx}是当\Delta x趋近于0时，\frac{\Delta y}{\Delta x}的极限
\end{split}
$$

几何意义

$$
\begin{split}
& 导数f'(x)是函数f(x)在点x处切线的斜率
\end{split}
$$

求导规则

1. 常数

$$
\begin{split}
& \frac{d}{dx} [C] = 0 \\
& C是常数
\end{split}
$$

2. 幂函数

$$
\begin{split}
& \frac{d}{dx} [x^n] = n x^{n-1} \\
& 其中，n是一个实数
\end{split}
$$

3. 常数倍数

$$
\begin{split}
& \frac{d}{dx} [C \cdot f(x)] = C \cdot f'(x) \\\
& C是常数
\end{split}
$$

4. 和与差

$$
\begin{split}
& \frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) \\
& \frac{d}{dx} [f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)
\end{split}
$$

5. 乘积与商

$$
\begin{split}
& \frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \\
& \frac{d}{dx} [\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \\
& 其中， g(x) \neq 0
\end{split}
$$

6. 链式法则求导

$$
\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

7. 常见函数求导

$$
\begin{split}
& 指数函数: \\
& \frac{d}{dx} [e^x] = e^x \\
& \frac{d}{dx} [a^x] = a^x ln(a) \qquad a > 0 且 a \neq 1 \\
& 对数函数：\\
& \frac{d}{dx} [ln(x)] = \frac{1}{x} \\
& \frac{d}{dx} [log_a(x)] = \frac{1}{x ln(a)} \qquad 其中a > 0且a \neq 1 \\
& 三角函数： \\
& \frac{d}{dx} [sin(x)] = cos(x) \\
& \frac{d}{dx} [cos(x)] = -sin(x) \\
& \frac{d}{dx} [tan(x)] = sec^2(x) \\
& 反三角函数： \\
& \frac{d}{dx} [arcsin(x)] = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\
& \frac{d}{dx} [arccos(x)] = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\\
& \frac{d}{dx} [arctan(x)] = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
\end{split}
$$

积分

积分的过程

1. 用来研究函数的积累量
2. 可以看作是微分的逆过程
3. 分为定积分和不定积分

定积分

1. 用于计算函数在某一段区间上的积累量

$$
\begin{split}
& 给定一个函数f(x)，其在区间[a,b]上的定积分表示为： \\
& \int_{a}^{b} f(x) \, dx \\
& 可以被解释为在区间[a,b]上，曲线f(x)与x轴之间的区域面积
\end{split}
$$

不定积分

1. 表示所有原函数的集合

$$
\begin{split}
& 给定一个函数f(x)，找到一个函数F(x)，使得 F'(x)= f(x) \\
& 不定积分的表示如下： \\
& \int f(x) \, dx = F(x) + C \\
& 其中，C为常量
\end{split}
$$

微积分

基本定理第一部分

1. 微积分基本定理第一部分表明了不定积分和定积分之间的关系

$$
\begin{split}
& 基本定理的第一部分之处，如果F是f的一个原函数，那么： \\
& \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
\end{split}
$$

基本定理第二部分

1. 微积分基本定理第二部分表明了导数与积分之间的关系

$$
\begin{split}
& 如果f是在区间[a,b]上连续的函数，那么定义如下的函数F(x): \\
& F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \\
& 则F在[a,b]上是可导的，并且F的导数等于f，即： \\
& F'(x) = f(x)
\end{split}
$$

2. 这两部分的意义在于：
   1. 第一部分告诉我们，定积分可以通过找到被积函数的一个原函数来计算
   2. 第二部分告诉我们，函数的积分可以通过累积其导数来构造，并且积分的导数恢复了原函数

微积分关系

1. 微分是从函数到导数（瞬时变化率）的过程
2. 积分是从导数到函数（累积量）的过程

理解

$$
\begin{split}
& 当你看到一个在区间[a,b]内连续的函数f(x)，你可以定义一个函数F(x)如下： \\
& F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \\
& 这个函数F(x)在区间[a,b]内是可导的，并且它的导数等于f(x),即： \\
& F'(x) = f(x) \\
& 需要注意的是： \\
& 任何形如G(x) = F(x) + C的函数都是f(x)的原函数，其中C是一个任意常数
\end{split}
$$

积分规则

1. 常数函数的不定积分

$$
\begin{split}
& \int c \, dx = cx + C \\
& 其中c是常数，C是积分常数
\end{split}
$$

2. 幂函数的不定积分

$$
\begin{split}
& \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \\
& 其中，n \neq -1
\end{split}
$$

3. 常数倍的不定积分

$$
\int c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int f(x) \, dt
$$

4. 和与差的不定积分

$$
\begin{split}
& \int [f(x) + g(x)] \, dt = \int f(x) \, dt + \int g(x) \, dt \\
& \int [f(x) - g(x)] \, dt = \int f(x) \, dt - \int g(x) \, dt
\end{split}
$$

5. 常见函数的不定积分

$$
\begin{split}
& 指数函数: \\
& \int e^x \, dx = e^x + C \\
& \int a^x \, dx = \frac{a^x}{ln(a)} + C \quad a>0且a \neq 1 \\
& 对数： \\
& \int \frac{1}{x} \, dx = ln|x| + C \\
& 三角函数： \\
& \int sin(x) \, dx = -cos(x) + C \\
& \int cos(x) \, dx = sin(x) + C \\
& \int tan(x) \, dx = -ln |cos(x)| + C = ln|sec(x)| + C \\
& 反三角函数： \\
& \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = arcsin(x) + C \\
& \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = arctan(x) + C
\end{split}
$$

积分技巧

1. 代换法

$$
\begin{split}
& 例如：\int (2x + 3)^5 \, dx: \\
& 解： 令u = 2x + 3，有： du = 2dx, \quad dx = \frac{1}{2}du \\
& 原式 = \int u^5 \cdot \frac{1}{2} \, du \\
& 原式 = \frac{1}{2} \int u^5 \, du \\
& 原式 = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C \\
& 原式 = \frac{(2x + 3)^6}{12} + C
\end{split}
$$

2. 分部积分法

$$
\begin{split}
& 公式： \\
& \int u \, dv = uv - \int v \, du
\end{split}
$$

$$
\begin{split}
& 例如：\\
& \int xe^x \, dx \\
& 解： u = x, \quad 则 du = dx \\
& dv = e^x dx, \quad 则 v = e^x \\
& 于是，原式 = x \cdot e^x - \int e^x dx \\
& 原式 = xe^x - e^x + C \\
& 原式 = e^x(x - 1) + C
\end{split}
$$