【华东师大版七年级上册】

有理数

范围

1. 整数
   1. 正整数
   2. 0
   3. 负整数
2. 分数
   1. 正分数
   2. 负分数

概念

1. 非负整数或自然数集
   1. 正整数
   2. 0

数轴

1. 直线
2. 原点
3. 正方向
4. 刻度

相反数

1. 只有正负号不同的两个数，互为相反数
2. 0的相反数是0

绝对值

1. 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值

$$
\vert a \vert
$$

2. 正数的绝对值是它本身
3. 0的绝对值是0
4. 负数的绝对值是它的相反数

$$
\vert a \vert \ge 0
$$

有理数加法

1. 同号相加，取加数相同的正负号，并把绝对值相加
2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值大的数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
3. 互为相反数的两个数，相加得0
4. 一个数与0相加，仍得到这个数

有理数加法运算律

交换律

$$
a + b = b + a
$$

结合律

$$
(a + b) + c = a + (b + c)
$$

有理数减法

1. 减去一个数，等于加上这个数的相反数

有理数乘法

1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
2. 任何数与0相乘都得0

有理数乘法运算律

交换律

$$
a \cdot b = b \cdot a
$$

结合律

$$
(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
$$

分配律

$$
a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
$$

倒数

1. 乘积是1的两个数互为倒数
2. 除以一个数等于乘以这个数的倒数
3. 零不能作除数

有理数除法

1. 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
2. 0除以任何一个不为0的数，都得0

有理数乘方

1. a是底数
2. n是指数
3. 乘方的结果叫幂

$$
a^n
$$

4. 正数的任何次幂都是正数
5. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数

科学计数法

$$
a \times 10^n \qquad (1 \le a \lt 10)
$$

有理数的混合运算

1. 先乘方，再乘除，最后加减
2. 同级运算，从左往右
3. 有括号，先小括号，再中括号，最后大括号

近似数

四舍五入

精度

1. 精确到十分位（0.1）
2. 精确到百分位（0.01）
3. 精确到千分位（0.001）

整式相关

列代数式

1. 用字母来表示数字的各种运算

代数式

1. 由数字和字母用运算符号连接成的式子（如下所示）

$$
\begin{split}
&1\\
&2a\\
&100t - 200t\\
&ab\\
&5.6f\\
&\frac{199}{t}
\end{split}
$$

代数式的值

1. 根据运算关系，等于结果，就是求代数式的值

单项式

1. 由数字和字母的乘积组成的代数式，就是单项式

$$
\begin{split}
&1\\
&2a\\
&ab\\
&5.6f
\end{split}
$$

2. 单项式的数字因数，叫单项式的系数

$$
\begin{split}
&1 \qquad \rightarrow \qquad 1\\
&2a \qquad \rightarrow \qquad 2\\
&ab \qquad \rightarrow \qquad 1\\
&5.6f \qquad \rightarrow \qquad 5.6
\end{split}
$$

3. 单项式中，所有字母的指数的和，叫这个单项式的次数

$$
\begin{split}
&1 \qquad \rightarrow \qquad 常数项相当于乘了x的0次，所以次数是0\\
&2a \qquad \rightarrow \qquad a的指数是1，所以是1次\\
&ab \qquad \rightarrow \qquad a指数是1，b指数是1，加起来单项式ab次数是2\\
&5.6f \qquad \rightarrow \qquad 5.6 f的指数是1，所以是1次
\end{split}
$$

多项式

1. 几个单项式的和
2. 多项式里面的每个单项式，叫多项式的项
3. 不含字母的项，叫常数项

$$
ab + 1 -2b
$$

整式

1. 单项式和多项式，统称整式

降幂排序

1. 按多项式里面字母的指数从大到小排序

$$
-2x^3+5x^2+3x-1
$$

升幂排序

1. 按多项式里面字母的指数从小到大排序

$$
-1+3x+5x^2-2x^3
$$

同类项

1. 包含的字母相同，并且字母的指数相等的，是同类项

$$
\begin{split}
&3x-2y+1+3y-2x-5\\
&同类项：3x \qquad -2x\\
&同类项：-2y \qquad 3y\\
&同类项：1 \qquad -5
\end{split}
$$

合并同类项

1. 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变

$$
\begin{split}
&3x-2y+1+3y-2x-5\\
&同类项：3x \qquad -2x \qquad 合并后 \rightarrow x\\
&同类项：-2y \qquad 3y \qquad 合并后 \rightarrow y\\
&同类项：1 \qquad -5 \qquad 合并后 \rightarrow -4\\
&最后结果 \rightarrow x + y - 4
\end{split}
$$

提取括号

1. 括号前面是+号，把括号前面的+号去掉，并且把括号去掉，括号里面的各项，不变符号

$$
a + (b - c) \qquad \rightarrow \qquad a + b - c
$$

2. 括号前面是-号，把括号前面的-号去掉，并且把括号去掉，括号里面的各项，变符号

$$
a - (b + c - d) \qquad \rightarrow \qquad a - b - c + d
$$

整式的加减

1. 先去括号，在合并同类项

图形相关

柱体

1. 柱体分为：
   1. 棱柱（有各种棱柱，三棱柱、四棱柱、五棱柱等等）
   2. 圆柱

椎体

1. 椎体分为：
   1. 棱锥（有各种棱锥，三棱锥、四棱锥、五棱锥等等）
   2. 圆锥

球体

多面体

1. 像上面的立体图形，就叫多面体

三视图

1. 主视图
   1. 就是从前往后看，看到的平面图形
2. 左视图
   1. 就是从左往右看，看到的平面图形
3. 俯视图
   1. 就是从上往下看，看到的平面图形

立体图形表面展开图

1. 就是把立体图形沿着边剪开，然后能平铺在平面上，看到的图形

点和线段

1. 在平面上画一个点，并用一个字母A来表示，就是点A
2. 把两个在平面上的点用直线连起来，就是线段
3. 两点之间，线段最短

射线

1. 把线段向一个方向无限延伸，形成的图形，就是射线

直线

1. 把线段向两方无限延伸，形成的图形，就是直线

2. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线
   1. 也就是说，两点确定一条直线

线段运算

$$
\begin{split}
&AB + BD = AD\\
&这个等式看图很容易观察出来\\
&既然是等式，也就是说，可以根据运算，换成减法的\\
&AD - BD = AB\\
&这个减法等式看图也很容易观察出来
\end{split}
$$

欧拉公式

$$
定点数 + 面数 - 棱数 = 2
$$

角

1. 要观察它的始边，始边到终边，才是这个角的角度

平角

1. 始边和终边在同一直线上了

周角

1. 始边和终边重合了

角的换算

1. 1周角是360度
2. 1平角是180度
3. 1度是60分
4. 1分是60秒

角的比较

角的加减

角的平分线

1. 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线，就是这个角的平分线

余角

1. 两个角的和等于90度，这两个角互为余角，简称互余

补交

1. 两个角的和等于180度，这两个角互为补交，简称互补

平行线相关

对顶角

1. 两条线相交，只有一个交点
2. 如图，角1和角3是对顶角；角2和角4是对顶角
3. 对顶角相等

垂线、垂足

1. AB和CD垂直，交点O，叫垂足
2. AB是CD的垂线，CD是AB的垂线
3. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

垂线段

1. 线段AB与直线l垂直，线段AB叫点A到直线l的垂线段

同位角

1. 角1和角5处于直线l的同一侧，且分别在直线a、b的同一方，它们就是同位角

内错角

1. 角3和角5处于直线l的不同侧，且在直线a、b的不同方，题目就是内错角

同旁内角

1. 角4和角5位于直线l的同一侧，且在直线a、b的不同方，它们就是同旁内角

平行线

1. 同一平面内不想交的两条直线，叫平行线
2. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

平行线性质

1. 两直线平行，同位角相等
2. 两直线平行，内错角相等
3. 两直线平行，同旁内角互补

判断两直线平行的方法

1. 如果同位角相等，两直线平行
2. 如果内错角相等，两直线平行
3. 如果同旁内角互补，两直线平行
4. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行