【线性代数】：第一章

二阶行列式

方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2.\end{array}$$

相关二阶行列式

$$D=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$$

$$D_1=\left[\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right]D_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right]$$

解

$$x_1=\frac{D_1}{D}{x}_2=\frac{D_2}{D}$$

三阶行列式

数表

$$\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}$$

行列式

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$

计算

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}.$$

全排列

把n个不同元素排成一列

$$P_n=n\cdot (n-1)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1=n!$$

P(n)为n个不同元素的所有排列的种数

对于这些不同的排列，先规定一个标准次序:
于是，在这由n个元素组成的任一排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，它就构成了一个逆序。
这个排列中逆序的总数叫做这个排序的逆序数：

• 逆序数为奇数的叫做奇排列
• 逆序数为偶数的叫做偶排列

对换

排列中，将任意两个元素对调，其余元素不变

其中，相邻元素的对换叫相邻对换

定理1

一个排序中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

n阶行列式的定义

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=\sum (-1{)}^t{a}_{1p1}a{2}_{2p2}{a}_{3p3}$$

其中，t为p1p2p3的逆序数

总结

$$\sum (-1{)}^t{a}_{1p1}{a}_{2p2}\cdots a_{npn}$$

行列式性质

性质1

$$D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]D^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

$$D=D^T$$

行列式与它的转置行列式相等。

性质2

对换行列式的两行（列），行列式变号。

推论：

如果行列式有两行（列）完全相同，此行列式等于0。

性质3

行列式中的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。

推论：

可以把某一行（列）中所有元素的公因子提取到行列式记号的外面。

性质4

行列式中如果有两行成比例，则此行列式为0。

性质5

$$D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{j1}& a_{i2}+a_{j2}& \cdots & a_{in}+a_{jn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

$$D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，则可将其拆为两个行列式相加。

性质6

把行列式某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

余子式&&代数余子式

在n阶行列式中，把(i,j)元所在的第i行和第j列划去后，留下了的n-1阶行列式叫做(i,j)元 $a_{(}ij)$的余子式记作$M_{(}ij)$
$A_{(}ij)$为代数余子式

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}.$$

引理

一个n阶行列式，如果其中第i行的所有元素，除了(i,j)元a(ij)外都为0，那么这行列式等于a(ij)与它的代数余子式的乘积。

$$D=a_{ij}{A}_{ij}.$$

定理2

行列式等于它的任一行列（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

推论：

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的。

$$\begin{gathered} D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in} \\ D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj} \end{gathered}$$